1. 九年级数学下二次函数质量检测试题
一、选择题
1.二次函数y=-x2+2x+2化为y=a(x-h)2+k的形式，下列正确的是( )
A. y=-(x-1)2+2 B. y=-(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4
2.抛物线y=(x-2)2+5的顶点坐标是( )
A. (-2，5) B. (2，5) C. (-2，-5) D. (2，-5)
3.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为( )
A.y=-(x-1)²-3 B.y=-(x+1)²-3 C.y=-(x-1)²+3 D.y=-(x+1)²+3
4.小明从图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面四条信息：① ;② <0;③ ;④方程 必有一个根在-1到0之间.你认为其中正确信息的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知二次函数的图象(﹣0.7≤x≤2)如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是( )
A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1
C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，无最大值
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
6.二次函数 ，自变量x与函数y的对应值如下表：
则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 当x> 时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是x=
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是( )
9.二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为( )
A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.9
10.已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>- B.k - 且k≠0 C.k - D.k>- 且k≠0
评卷人 得分
二、填空题
11.已知抛物线y=x2﹣(k+1)x+4的顶点在x轴上，则k的值是 .
12.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A(1，0)，对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
13.利用图象法求方程的解，体现了数形结合的方法，它是将方程的解看成两个函数图象交点的横坐标.若关于x的方程x2+a﹣ =0(a>0)只有一个整数解，则a的值等于 .
14.已知抛物线p：y= +bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y= +2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 .
评卷人 得分
三、解答题
15.已知：关于x的方程：mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.
(1)求证：无论m取何值时，方程恒有实数根;
(2)若关于x的二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣4，0)、B(1，0)、C(0，3)三点，直线y=mx+n经过A(﹣4，0)、C(0，3)两点.
(1)写出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n，写出x的取值范围.
17.已知抛物线y=x2﹣2x﹣8.
(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=(x﹣h)2+k形式;
(2)并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大.
18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D(n，y1)，E(3，y2)在抛物线上，若y1<y2，请直接写出n的取值范围; p=""> </y2，请直接写出n的取值范围;>
(3)设点M(p，q)为抛物线上的一个动点，当﹣1<p<2时，点m关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围. p=""> </p<2时，点m关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围.>
19.根据下列要求，解答相关问题.
(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的过程.
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x;并在下面的坐标系中(图1)画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象(只画出图象即可).
②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ;并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y>0的部分.
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集为﹣2<x<0.请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集. p=""> </x<0.请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集.>
20.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围.
21.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元/件) x+40 90
每天销量(件) 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
22.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积;
(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD= S△BCD，求点P的坐标.
23.如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ.当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动.设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S.如图2是S关于x的函数图象(其中0≤x≤8，8<x≤m，m<x≤16时，函数的解析式不同). p=""> </x≤m，m<x≤16时，函数的解析式不同).>
(1)填空：m的值为 ;
(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;
(3)请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值.
24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(4，0)，与y轴交于C(0，﹣4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
参考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B.
10.B
11.3或﹣5.
12.x1=1，x2=﹣3.
13.3.
14.y= ﹣2x﹣3.
15.解：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2;②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0，故方程有两个实数根;
故无论m为何值，方程恒有实数根.
(2)、∵二次函数y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴ =2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣ .
则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣ .
16.解：(1)、根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可;(2)、确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可.
试题解析：(1)、∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣4，0)、B(1，0)，∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1;
(2)、由图可知，ax2+bx+c>mx+n时，﹣4<x<0. p=""> </x<0.>
17.解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =(x﹣1)2﹣9.
(2)、由(1)知，抛物线的解析式为：y=(x﹣1)2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标是(1，﹣9)
抛物线的对称轴方程是x=1 当y=0时， (x﹣1)2﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4，
∴抛物线与x轴交点坐标是(﹣2，0)，(4，0); ∵该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大.
18.解：(1)∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣ =1.
解得：m=1.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x.
(2)将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.
将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3.解得：x1=﹣1，x2=3.
∵a=﹣1<0，∴当n<﹣1或n>3时，y1<y2. p=""> </y2.>
(3)设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：
∵当P=﹣1时，q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为(1，﹣3).
∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为(﹣2，0).
①当k<0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0.
解得：k≥﹣2.
②当k>0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3.解得;k≤1.
∴k的取值范围是﹣2≤k≤1.
2. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表
（1）当1≤x＜50时，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，
综上所述：y=
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