1. 九年級數學下二次函數質量檢測試題
一、選擇題
1.二次函數y=-x2+2x+2化為y=a(x-h)2+k的形式，下列正確的是( )
A. y=-(x-1)2+2 B. y=-(x-1)2+3 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2+4
2.拋物線y=(x-2)2+5的頂點坐標是( )
A. (-2，5) B. (2，5) C. (-2，-5) D. (2，-5)
3.把拋物線y=-x2向左平移1個單位長度，然後向上平移3個單位長度，則平移後拋物線的解析式為( )
A.y=-(x-1)²-3 B.y=-(x+1)²-3 C.y=-(x-1)²+3 D.y=-(x+1)²+3
4.小明從圖所示的二次函數 的圖象中，觀察得出了下面四條信息：① ;② <0;③ ;④方程 必有一個根在-1到0之間.你認為其中正確信息的個數有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
5.已知二次函數的圖象(﹣0.7≤x≤2)如圖所示、關於該函數在所給自變數x的取值范圍內，下列說法正確的是( )
A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1
C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，無最大值
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
6.二次函數 ，自變數x與函數y的對應值如下表：
則下列說法正確的是( )
A. 拋物線的開口向下 B. 當x> 時，y隨x的增大而增大
C. 二次函數的最小值是 D. 拋物線的對稱軸是x=
7.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，反比例函數 與正比例函數y=bx在同一坐標系內的大致圖象是( )
A. B. C. D.
8.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達A點停止運動;另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達A點停止運動.設P點運動時間為x(s)，△BPQ的面積為y(cm2)，則y關於x的函數圖象是( )
9.二次函數y=ax2+bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2+bx+m=0有實數根，則m的最大值為( )
A.﹣3 B.3 C.﹣6 D.9
10.已知二次函數y=kx2﹣5x﹣5的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是( )
A.k>- B.k - 且k≠0 C.k - D.k>- 且k≠0
評卷人 得分
二、填空題
11.已知拋物線y=x2﹣(k+1)x+4的頂點在x軸上，則k的值是 .
12.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點是A(1，0)，對稱軸為直線x=﹣1，則一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
13.利用圖象法求方程的解，體現了數形結合的方法，它是將方程的解看成兩個函數圖象交點的橫坐標.若關於x的方程x2+a﹣ =0(a>0)只有一個整數解，則a的值等於 .
14.已知拋物線p：y= +bx+c的頂點為C，與x軸相交於A、B兩點(點A在點B左側)，點C關於x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線.若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y= +2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 .
評卷人 得分
三、解答題
15.已知：關於x的方程：mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2=0.
(1)求證：無論m取何值時，方程恆有實數根;
(2)若關於x的二次函數y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式.
16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A(﹣4，0)、B(1，0)、C(0，3)三點，直線y=mx+n經過A(﹣4，0)、C(0，3)兩點.
(1)寫出方程ax2+bx+c=0的解;
(2)若ax2+bx+c>mx+n，寫出x的取值范圍.
17.已知拋物線y=x2﹣2x﹣8.
(1)用配方法把y=x2﹣2x﹣8化為y=(x﹣h)2+k形式;
(2)並指出：拋物線的頂點坐標是 ，拋物線的對稱軸方程是 ，拋物線與x軸交點坐標是 ，當x 時，y隨x的增大而增大.
18.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對稱軸是直線x=1.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點D(n，y1)，E(3，y2)在拋物線上，若y1<y2，請直接寫出n的取值范圍; p=""> </y2，請直接寫出n的取值范圍;>
(3)設點M(p，q)為拋物線上的一個動點，當﹣1<p<2時，點m關於y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，求k的取值范圍. p=""> </p<2時，點m關於y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，求k的取值范圍.>
19.根據下列要求，解答相關問題.
(1)請補全以下求不等式﹣2x2﹣4x>0的解集的過程.
①構造函數，畫出圖象：根據不等式特徵構造二次函數y=﹣2x2﹣4x;並在下面的坐標系中(圖1)畫出二次函數y=﹣2x2﹣4x的圖象(只畫出圖象即可).
②求得界點，標示所需，當y=0時，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解為 ;並用鋸齒線標示出函數y=﹣2x2﹣4x圖象中y>0的部分.
③藉助圖象，寫出解集：由所標示圖象，可得不等式﹣2x2﹣4x>0的解集為﹣2<x<0.請你利用上面求一元一次不等式解集的過程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集. p=""> </x<0.請你利用上面求一元一次不等式解集的過程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集.>
20.若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”.
(1)請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數;
(2)已知關於x的二次函數y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經過點A(1，1)，若y1+y2為y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，並求當0≤x≤3時，y2的取值范圍.
21.九(1)班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x(1≤x≤90)天的售價與銷量的相關信息如下表：
時間x(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售價(元/件) x+40 90
每天銷量(件) 200﹣2x
已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元.
(1)求出y與x的函數關系式;
(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少?
(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低於4800元?請直接寫出結果.
22.如圖，已知拋物線的頂點為A(1，4)，拋物線與y軸交於點B(0，3)，與x軸交於C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求C、D兩點坐標及△BCD的面積;
(3)若點P在x軸上方的拋物線上，滿足S△PCD= S△BCD，求點P的坐標.
23.如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，點P、Q同時從點B出發，以相同的速度分別沿折線B→A→C、射線BC運動，連接PQ.當點P到達點C時，點P、Q同時停止運動.設BQ=x，△BPQ與△ABC重疊部分的面積為S.如圖2是S關於x的函數圖象(其中0≤x≤8，8<x≤m，m<x≤16時，函數的解析式不同). p=""> </x≤m，m<x≤16時，函數的解析式不同).>
(1)填空：m的值為 ;
(2)求S關於x的函數關系式，並寫出x的取值范圍;
(3)請直接寫出△PCQ為等腰三角形時x的值.
24.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A、B兩點，A點在原點左側，B點的坐標為(4，0)，與y軸交於C(0，﹣4)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數的表達式.
(2)連接PO、PC，並把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那麼是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形?若存在，請求出此時點P的坐標;若不存在，請說明理由.
(3)當點P運動到什麼位置時，四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.
參考答案
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B.
10.B
11.3或﹣5.
12.x1=1，x2=﹣3.
13.3.
14.y= ﹣2x﹣3.
15.解：(1)、①當m=0時，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2;②當m≠0時，方程為一元二次方程，
△=[﹣(3m﹣1)]2﹣4m(2m﹣2) =m2+2m+1 =(m+1)2≥0，故方程有兩個實數根;
故無論m為何值，方程恆有實數根.
(2)、∵二次函數y=mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，
∴ =2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣ .
則函數解析式為y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣ .
16.解：(1)、根據一元二次方程的解就是拋物線與x軸的交點的橫坐標解答即可;(2)、確定出拋物線在直線上方部分的x的取值即可.
試題解析：(1)、∵拋物線y=ax2+bx+c經過A(﹣4，0)、B(1，0)，∴方程ax2+bx+c=0的解為x1=﹣4，x2=1;
(2)、由圖可知，ax2+bx+c>mx+n時，﹣4<x<0. p=""> </x<0.>
17.解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =(x﹣1)2﹣9.
(2)、由(1)知，拋物線的解析式為：y=(x﹣1)2﹣9， ∴拋物線的頂點坐標是(1，﹣9)
拋物線的對稱軸方程是x=1 當y=0時， (x﹣1)2﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4，
∴拋物線與x軸交點坐標是(﹣2，0)，(4，0); ∵該拋物線的開口向上，對稱軸方程是x=1，
∴當x>1時，y隨x的增大而增大.
18.解：(1)∵拋物線的對稱軸為x=1，∴x=﹣ =1.
解得：m=1.∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.
(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.
將y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3.解得：x1=﹣1，x2=3.
∵a=﹣1<0，∴當n<﹣1或n>3時，y1<y2. p=""> </y2.>
(3)設點M關於y軸對稱點為M′，則點M′運動的軌跡如圖所示：
∵當P=﹣1時，q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.∴點M關於y軸的對稱點M1′的坐標為(1，﹣3).
∵當P=2時，q=﹣22+2×2=0，∴點M關於y軸的對稱點M2′的坐標為(﹣2，0).
①當k<0時，∵點M關於y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0.
解得：k≥﹣2.
②當k>0時，∵點M關於y軸的對稱點都在直線y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3.解得;k≤1.
∴k的取值范圍是﹣2≤k≤1.
2. 九（1）班數學興趣小組經過市場調查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷售量的相關信息如下表
（1）當1≤x＜50時，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，
當50≤x≤90時，
y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000，
綜上所述：y=
與數學經過市場調查相關的資料
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