1. 海盜分金的拓展
我們的出發點應當是游戲進行到只剩兩名海盜——即1號和2號——的時候。這時最厲害的海盜是2號，而他的最佳分配方案是一目瞭然的：100塊金子全歸他一人所有，1號海盜什麼也得不到。由於他自己肯定為這個方案投贊成票，這樣就佔了總數的50%，因此方案獲得通過。現在加上3號海盜。1號海盜知道，如果3號的方案被否決，那麼差畢最後將只剩2個海盜，而1號將肯定一無所獲——此外，3號也明白1號了解這一形勢。因此，只要3號的分配方案給1號一點甜碧凳頭使他不至於空手而歸，那麼不論3號提出什麼樣的分配方案，1號都將投贊成票。因此3號需要分出盡可能少的一點金子來賄賂1號海盜，這樣就有了下面的分配方案：3號海盜分得99塊金子，2號海盜一無所獲，1號海盜得1塊金虛慧芹子。
4號海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號一樣也需再找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以用這塊金子來收買2號海盜。因為如果4號被否決而3號得以通過，則2號將一文不名。因此，4號的分配方案應是：99塊金子歸自己，3號一塊也得不到，2號得1塊金子，1號也是一塊也得不到。5號海盜的策略稍有不同。他需要收買另兩名海盜，因此至少得用2塊金子來賄賂，才能使自己的方案得到採納。他的分配方案應該是：98塊金子歸自己，1塊金子給3號，1塊金子給1號。
這一分析過程可以照著上述思路繼續進行下去。每個分配方案都是唯一確定的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時又保證該方案肯定能通過。照這一模式進行下去，10號海盜提出的方案將是96塊金子歸他所有，其他編號為偶數的海盜各得1塊金子，而編號為奇數的海盜則什麼也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。
Omohundro的貢獻是他把這一問題擴大到有500名海盜的情形，即500名海盜瓜分100塊金子。顯然，類似的規律依然成立——至少是在一定范圍內成立。事實上，前面所述的規律直到第200號海盜都成立。 200號海盜的方案將是：從1到199號的所有奇數號的海盜都將一無所獲，而從2到198號的所有偶數號海盜將各得1塊金子，剩下的1塊金子歸200號海盜自己所有。
2. 海盜分金理論
我在讀書的時候看到的這么一個理論。
說，有5個海盜要分一筆金幣，每個人要提出一個分法，如果這個分法有半數以上認可才能得到執行，否則提出這個分法的人就要被扔進大海喂鯊魚。
如果你帶讓坦一直在想該怎麼分才能達到目的，那我想你永遠也想不到。而如果你去思考要達到這一目的所必須具備的前提，那麼你有希望解決這個問題。
沒錯，海盜分金理論的思維方式就蠢桐是從結果逆推前提從而找到解決方案。
但是海盜分金理論終究只滑舉是個理論，在現實中很難存在。
這是個博弈。
3. 博弈論 - 海盜分金
經濟學上有個「海盜分金」模型：是說5個海盜搶得100枚金幣，他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1號提出分配方案，然後5人表決，投票要超過半數同意方案才被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。「海盜分金」其實是一個高度簡化和抽象的模型，體現了博弈的思想。在「海盜分金」模型中，任何「分配者」想讓自己的方案獲得通過的關鍵是事先考慮清楚「挑戰者」的分配方案是什麼，並用最小的代價獲取最大收益，拉攏「挑戰者」分配方案中最不得意的人們。
第一個海盜的分配方案想要通過的關鍵是想辦法聯合後面的海盜，打壓第二名。
具體規則如下：
抽簽決定自己的號碼(1, 2, 3, 4, 5)。
首先， 由1號提出分配方案， 然後大家5人進行表決， 當且僅當超過半數人同意時， 按照他的提案進行分配， 否則將被扔入大海喂鯊魚
如果1號死後， 再由2號提出分配方案， 然後大家4人進行表決， 當且僅當超過半數的人同意時， 按照他的提案進行分配， 否則將被扔入大海喂鯊魚。以此類推。
條件 ： 每個海盜都是很聰明的人， 都能很理智的判斷得失， 從而做出選擇。
問題 ： 第一個海盜提出怎樣的分配方案才能使自己免於下海以及自己獲得雀宴最多的金幣呢？
解法
採用逆向歸納法， 從只剩下5號海盜開始分析。
如果只剩5號海盜，那麼毫無疑問他將得到所有的金幣而且不用犧牲，5號海盜沒有任何風險。
接下來看4號，他的生存機會完全取決於前面還有人存活著，因為如果1號到3號的海盜全都餵了鯊魚，那麼在只剩4號與5號的情況下，不管4號提出怎樣的分配方案，5號一定都會投反對票來讓4號去喂鯊魚，以獨吞全部的金幣。哪怕4號為了保命而討好5號，提出（0，100）這樣的方案讓5號獨占金幣，但是5號還有可能覺得留著4號有危險，而投票反對以讓其喂鯊魚。因此理性的4號是不應該冒這樣的風險，把存活的希望寄託在5號的隨機選擇上的，他只有支持3號才能絕對保證自身的性命 。
再來看3號，他經過上述的邏輯推理之後，就會提出（100，0，0）這樣的分配方案，因為他知道4號哪怕一無所獲，也還是會無條件的支持他而投贊成票的，那麼再加上自己的1票就可以使他穩獲這100金幣了。
但是，2號也經過推理得知了3號的分配方案，那麼他就會提出（98，0，1，1）的方案。因為這個方案相對於3號的分配方案，4號和5號至少可仿槐以獲得1枚金幣，理性的4號和5號自然會覺得此方案對他們來說更有利而支持2號，不希望2號出局而由3號來進行分配。這樣，2號就可以拿走98枚金幣了。
這回輪到1號海盜，1號海盜經過一番推理之後也洞悉了2號的分配方案。他將採取的策略是放棄2號，而給3號1枚金幣，同時給4號或5號2枚金幣，即提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的分配方案。由於1號的分配方案對於3號與4號或5號來說，相比2號的方案可以獲得更多的利益，那麼他們將會投票支持1號，再頃大銀加上1號自身的1票，97枚金幣就可輕松落入1號的腰包了。
當然，真實世界裡，人肯定不會像數學演算法一樣精確的去考慮。在真實世界裡，你要是（97，0，1，2，0）這樣分，肯定分分鍾喂鯊魚了。但這並不妨礙我們通過這個案例，理解競爭力的合作策略。這個案例給我的一個啟發就是，美國為什麼扶持印度，為什麼遏制中國。世界老大的地位被威脅時，團結其他對手，把老二弄下去，老大就安全了。
4. 經濟學上有個著名的海盜分金模型，五個海盜分一百個金幣，他們按抽簽的方式依次提出方案，首先由一號提出
「海盜分金模型」如敬是博弈論問題。簡單來渣棚慎說，第一個海盜利用自己「先發制人」的優勢，提出理想和吵的分配方案（因為假定每個海盜都是絕頂聰明且理性的），從第一到第五可寫成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
5. 博弈論之五個海盜分金幣的問題(以及推廣到更多的海盜)
5個海盜搶得100枚金幣，他們按抽簽的順序依次提方案：首先由1號提出分配方案，然後所有5人表決(包括自己)，超過半數同意方案才被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚，依此類推。
大盜們都有如下的幾個性格特點:
在這種理想的條件下如果你是第一個海盜應該怎麼提出方案才能讓自己的收獲最多的金幣呢.
按照一般的思想,我們肯定認為第一個人是最慘的,因為似乎只要死的人越多,平均每個人能分到的金幣就更多,那麼第一個人可能是很容易就死了,但是實際上呢,在上面的這些條件下,第一個海盜是最賺的,他能得到的金幣是97個!!!
我們先來看兩個海盜的時候會怎麼樣,慢慢推理,然後我們就會發現其實很好理解.
很顯然,當只有兩個海盜的時候,一號一定會死,因為首先只要第一個海盜死了,剩下的一個便能獲得全部的金幣,根據==貪山皮得無厭==的原則,二號也不會投同意票,即使一號選擇
==(0,100)(即一號獲得0個金幣,二號獲得100個)==,但是根據==心狠手辣==的原則,二號還是不會投同意票,所以此時無論如何也不會有半數以上的同意票,此時的一號表示:為什麼我這么慘啊!
當存在三個海盜的時候,原來的兩個海盜時的一號變成了二號,此時二號知道了,如果一號被投死,那麼毫無懸念的,他沒有任何活路,根據==貪生怕死==的原則,他會無論如何保全自己,換句話說,他無論如何都會同意此時一號的題意,那麼此時聰明的一號知道他們的想法之後就開心的不行了,因為無論自己提什麼條件自己都會得到半數以上的投票.那根據==貪得無厭==的原則,結果顯而易見.
四個海盜時,此時的一號明白了此時的二號是討好不了的.因為自己死了二號就一定能得到全部100枚金幣,所櫻激以乾脆不討好,給他0枚金幣吧.而此時除了自己的票還差兩票,那麼只要討好三號和四號獲得這兩票就好,三號和四號相當容易討好的,因為一號死了,他們就只能得到空氣(三個海盜的結果為(100, 0, 0)),那麼給他一塊金幣就好啦.當然一號不能不給三號四號金幣,因為海盜都是==心狠手辣==的,==[如果不管你死不死我都是0塊金幣,那我乾脆要你死算了]==.
相同的原理,現在的一號需要2票就能保證存活,首先二號是不考慮了給金幣了,不管給多少都反對的,三號給一個金幣就行,然後還差一票,只要給==四號或五號==其中一個兩枚金幣,另一個不給,就可以.但逗頌差這里要注意一下,此時的分歧已經產生,後面的推廣推理中會用到.
到這里我們關於五個海盜分金幣的問題就得到了完美的解決,看似最慘的一號海盜得到了最多的獲利,令人側目,可惜人不都是完全理性的,有時甚至愚蠢之極,但這或許就是社會令人難以著迷也最令人害怕的地方的地方.
五個海盜的故事結束了,現在來了六個海盜,
我們繼續可以按照之前的思路分析現在的情況,一號需要3票,二號不能討好,三號給一枚,四號五號六號呢,這就出現的不是很好理解的情況,我先說明最後的結果是:
為什麼呢,我們可以從上面的推理發現我們其實一直沒用到5.==疑心多慮==的原則,而現在就用到了,因為在五個海盜的時候有兩種分法,四號和五號都可能分到2枚金幣,也都可能分到0枚,他們不敢保證自己在這個人死後下一個人提方案時會給自己2枚還是0枚,那現在只要一號給他們一枚金幣,他們就一定會投同意票
==(不信任彼此，盡量確保自身利益不寄希望與別人給自己更大利益)==.
所以這種分法是對一號收益最多的,否則他還要要花兩枚金幣去收買四號,一枚金幣收買五六號中的一個 ==((96, 0, 1, 2, 0, 1)或(96, 0, 1, 2, 1, 0))==,這樣不是最優的.
同樣的思路推廣下去我們會發現這樣的規律:
上述情況的答案都是m-n/2
這就是海盜分金幣的一般解了.
6. 海盜分珠寶
所有的海盜都樂於看到他們的一位同夥被扔進海里，不過，如果讓他們選擇的話，他們還是寧可得到一筆現金。他們當然也不願意自己被扔到海里。所有的海盜都是有理性的，而且知道其他的海盜也是有理性的。此外，沒有兩名海盜是同等厲害的——這些海盜按照完全由上到下的等級排好了座次，並且每個人都清楚自己和其他所有人的等級。這些金塊不能再分，也不允許幾名海盜共有金塊，因為任何海盜都不相信他的同夥會遵守關於共享金塊的安排。這是一夥每個人都只為自己打算的海盜。最凶的一名海盜應當提出什麼樣的分配方案才能使他獲得最多的金子呢？
為方便起見，我們按照這些海盜的怯懦程度來給他們編號。最怯懦的海盜為1號海盜，次怯懦的海盜為2號海盜，依次類推。這樣最厲害的海盜就應當得到最大的編號，而方案的提出就將倒過來從上至下地進行。
分析所有這類策略游戲的奧妙就在於應當從結尾出發倒推回去。游戲結束時，你容易知道何種決策有利而何種決策不利。確定了這一點後，你就可以把它用到倒數第2次決策上，依次類推。如果從游戲的開頭出發進行分析，那是走不了多遠的。其原因在於，所有的戰略決策都是要確定：「如果我這樣做，那麼下一個人會怎樣做？」
因此，在你以下海盜所做的決定對你來說是重要的，而在你之前的海盜所做的決定並不重要，因為你反正對這些決定也無能為力了。
記住了這一點，就可以知道我們的出發點應當是游戲進行到只剩兩名海盜，即1號和2號的時候。這時最厲害的海盜是2號，而他的最佳分配方案是一目瞭然的：100塊金子全歸他一人所有，1號海盜什麼也得不到。由於他自己肯定為這個方案投贊成票，這樣就佔了總數的50%，基鎮因此方案獲得通過。
現在加上3號海盜。1號海盜知道，如果3號的方案被否決，那麼最後將只剩2個海盜，而1號將肯定一無所獲。此外，3號也明白1號了解這一形勢。因此，只要3號的分配方案給1號一點甜頭使他不至於空手而歸，那麼不論3號提出什麼樣的分配方案，1號都將投贊成察御票。因此，3號需要分出盡可能少的一點金子來賄賂1號海盜，這樣就有了下面的分配方案：3號海盜分得99塊金子，2號海盜一無所獲，1號海盜得1塊金子。
4號海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號一樣也需再找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以用這塊金子來收買2號海盜。因為如果4號被否決而3號得以通過，則2號將一塊也得不到。因此，4號的分配方案應是：99塊金子歸自己，3號一塊也得不到，2號得1塊金子，1號也是一塊也得不到。
5號海盜的策略稍有不同。他需要收買另兩名海盜，因此至少得用2塊金子來賄賂，敗鋒岩才能使自己的方案得到採納。他的分配方案應該是：98塊金子歸自己，1塊金子給3號，1塊金子給1號。
這一分析過程可以照著上述思路繼續進行下去。每個分配方案都是惟一確定的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時又保證該方案肯定能通過。照這一模式進行下去，10號海盜提出的方案將是96塊金子歸他所有，其他編號為偶數的海盜各得1塊金子，而編號為奇數的海盜則什麼也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。
7. 海盜分金
本節介紹一個經濟學中非常經典的模型：海盜分金。
五個海盜得到100枚金幣，他們按照抽簽決定分配順序：首先由1號海盜進行分配，如果他的分配結果得到半數或者以上海盜承認，就按照他的分配結果進行。否則他將會被扔進大海喂鯊魚，接下來由二號海盜進行分配，以此類推。那麼一號海盜究竟怎麼能保證冊舉自己的利益最大化呢？
當然這里有兩個基本假設：
1.首先要求必須嚴格按照規則進行分配和執行。
2.其次，要求所有的海盜都是完全理性，這意味著他們不會拿自己的生命開玩笑，不會為了不確定性的利益賭博。會保證自己最穩妥的收益。
這里稍微插幾句話，感興趣的讀者可以縣自行思考該問題的解決方法。看看能否得出合理的解釋。
在《天行九歌》中，同樣有著一節，出現了韓非解釋的《三姬分金》的問題，其實質上與海盜分金為同一個問題。這一點在吵絕下面的解釋中很快會得到正式。
插話結束
我們接下來看這個問題的解決方式：直接入手似乎並不好解決。因此我們可以利用反向歸納法。從一個海盜的情況開始，倒退回去。
一個海盜
只剩下一個海盜時，他必然會將所有金幣據為己有 因此結果為 ： 100
兩個升姿姿海盜
當剩下兩個海盜時，只需要2號海盜自己同意，人數就會達到半數。因此他不需要考慮1號，直接分配： 0 100 【1號0個 2號100個】
三個海盜
當剩下三個海盜時，2號必然不會支持3號的方案，因為只要將3號扔下去，2號就可以獨吞金幣。
那麼3號必須爭取1號的支持，需要支付1號大於0 個的金幣，1個即可。因此此時分配結果為1 0 99【即1號1個 2號0 個 3 號99個】
此時就是 天行九歌 中 三姬分金 問題的解答了，【結果為第一個歌姬可以得到99個】。
四個海盜
同樣，4號海盜在進行分配時，必然不會花費大代價尋求3號海盜的支持，會將拉攏對象投入到2號身上，選擇拉攏2號，從而結果為 【0 1 0 99】。
五個海盜
同理，5個海盜的結果為【1 0 1 0 98】。這便是5個海盜分金幣問題的解答。
簡單來說，在所有人都絕對理性的情況下：先下手為強，後下手遭殃。
關於海盜分金問題，並沒有到此結束。感興趣的讀者可以自行搜索更多的內容。本文將一個經濟學的案例放在「數學文化」文集里。只是為了引出 「反向歸納法」這一數學思想，天下大事必做於細，天下難事必做於易。當我們對一件事，一個難題不好把握時，不妨追根溯源，從簡單的模型開始，一步步分析得到想要的結果。我想這就是歸納法的真諦。